Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求直線DH與平面BDEF所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角H-BD-C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面所成的角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（I）由面面垂直的性質(zhì)可證AC與平面BDEF垂直；
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，ON所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDEF的法向量，即可求直線DH與平面BDEF所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面BDH、平面BCD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角H-BD-C的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）解：設(shè)AC∩BD=O，取EF的中點(diǎn)N，連接ON，
∵四邊形BDEF是矩形，O，N分別為BD，EF的中點(diǎn)，
∴ON∥ED，
∵ED⊥平面ABCD，
∴ON⊥平面ABCD，
由AC⊥BD，得OB，OC，ON兩兩垂直．
∴以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，ON所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，
∴A（0，-

3

，0），B（1，0，0），D（-1，0，0），E（-1，0，3），F(xiàn)（1，0，3），C（0，

3

，0），H（

1

2

，

3

2

，

3

2

）
∵AC⊥平面BDEF，
∴平面BDEF的法向量

AC

=（0，2

3

，0）．
設(shè)直線DH與平面BDEF所成角為α，
∵

DH

=（

3

2

，

3

2

，

3

2

），
∴sinα=|cos＜

DH

，

AC

＞|=|

DH • AC

| DH || AC |

|=

7

7

，
∴直線DH與平面BDEF所成角的正弦值為

7

7

；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得

BH

=（-

1

2

，

3

2

，

3

2

），

DB

=（2，0，0）．
設(shè)平面BDH的法向量為

n

=（x，y，z），則

-x+ 3 y+3z=0 2x=0

令z=1，得

n

=（0，-

3

，1）
由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量為

ED

=（0，0，-3），
則cos＜

n

，

ED

＞=

n • ED

| n || ED |

=-

1

2

，
由圖可知二面角H-BD-C為銳角，
∴二面角H-BD-C的大小為60°．

點(diǎn)評：本題考查面面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直，考查線面角，面面角，考查向量法的運(yùn)用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．