Question

拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上．設(shè)拋物線y²=2px（p＞0），弦AB過(guò)焦點(diǎn)，△ABQ為其阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（　　）

A． p2 2

B．p2

C．2p2

D．4p2

Answer 1

法一：取傾斜角為：45⁰，60⁰，90⁰，經(jīng)計(jì)算可知，當(dāng)傾斜角為90⁰時(shí)，△ABQ的面積的最小，此時(shí)AB=2p，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離d=

p

2

-(-

p

2

)=p，此時(shí)三角形的面積最小為p²故選B．
法二：由于若拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上，且△PAB為直角三角型，且角P為直角．S=

1

2

PA•PB≤

AB2

4

，由于AB是通徑時(shí)，AB最小，故選B．