Question

【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線E的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)），設(shè)E的右焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)第一象限的漸進(jìn)線為l．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)過(guò)F與l垂直的直線與y軸相交于點(diǎn)A，P是l上異于原點(diǎn)O的點(diǎn)，當(dāng)A，O，F(xiàn)，P四點(diǎn)在同一圓上時(shí)，求這個(gè)圓的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)P的極坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵雙曲線E的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)），

∴ ， ，

∴ = =1，

∴雙曲線E的普通方程為 ．

∴直線l在直角坐標(biāo)系中的方程為y= ，其過(guò)原點(diǎn)，傾斜角為 ，

∴l(xiāng)的極坐標(biāo)方程為 ．

（2）解：由題意A、O、F、P四點(diǎn)共圓等價(jià)于P是點(diǎn)A，O，F(xiàn)確定的圓（記為圓C，C為圓心）與直線l的交點(diǎn)（異于原點(diǎn)O），

∵AO⊥OF，∴線段AF為圓C的直徑，

由（Ⅰ）知，|OF|=2，

又A是過(guò)F與l垂直的直線與y軸的交點(diǎn)，

∴∠AFO= ，|AF|=4，

于是圓C的半徑為2，圓心的極坐標(biāo)為（2， ），

∴圓C的極坐標(biāo)方程為 ，

此時(shí)，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4cos（ ）， ），即（2 ， ）．

【解析】（1）由雙曲線E的參數(shù)方程求出雙曲線E的普通方程為 ．從而求出直線l在直角坐標(biāo)系中的方程，由此能求出l的極坐標(biāo)方程．（2）由題意A、O、F、P四點(diǎn)共圓等價(jià)于P是點(diǎn)A，O，F(xiàn)確定的圓（記為圓C，C為圓心）與直線l的交點(diǎn)（異于原點(diǎn)O），線段AF為圓C的直徑，A是過(guò)F與l垂直的直線與y軸的交點(diǎn)，從而C的半徑為2，圓心的極坐標(biāo)為（2， ），由此能求出點(diǎn)P的極坐標(biāo)．