Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A，B，C 的對邊．
（1）用向量知識(shí)證明：正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R_外（R為△ABC外接圓的半徑）
（2）已知8b=5c，C=2B，求cosC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：計(jì)算題,證明題,解三角形

分析：（1）由

AB

=

OB

-

OA

，兩邊平方，運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，注意結(jié)合同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，運(yùn)用二倍角的余弦公式，即可得到c=2RsinC，同理可證，a=2RsinA，b=2RsinB．
（2）直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方關(guān)系式求出cosC的值即可．

解答： （1）證明：∵

AB

=

OB

-

OA

，
兩邊平方得，

AB

2=（

OB

-

OA

）²，
即c²=R²+R²-2

OA

•

OB

=2R²-2R²•cos∠AOB=
2R²（1-cos2∠ACB）=4R²sin²∠ACB，
則c=2RsinC，
同理可證，a=2RsinA，b=2RsinB．
即有正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R_外（R為△ABC外接圓的半徑）；
（2）∵在△ABC中，8b=5c，C=2B，
∴由正弦定理得：8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，
∴cosB=

4

5

，
∵B為三角形內(nèi)角，
∴B∈（0，

π

4

），C＜

π

2

，
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

，
∴sinC=sin2B=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

，
則cosC=

1-sin2C

=

7

25

．

點(diǎn)評：此題考查了正弦定理的向量證明及運(yùn)用，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．