Question

 

    已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為

   （Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

   （Ⅱ）設(shè)是[2，+∞）上的增函數(shù)。

        （i）求實(shí)數(shù)的最大值；

        （ii）當(dāng)取最大值時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得過(guò)點(diǎn)Q的直線若能與曲線圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，滿分14分.

解法一：

   （I）由及題設(shè)得即

   （II）（i）由

得

上的增函數(shù)，上恒成立，

即上恒成立，

設(shè)

，

即不等式上恒成立，

當(dāng)時(shí)，設(shè)在上恒成立，

當(dāng)時(shí)，設(shè)

因?yàn)?sub>，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,\

因此

，即

又

綜上，m的最大值為3.

   （ii）由（i）得其圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.

證明如下：

    因此，

    上式表明，若點(diǎn)為函數(shù)的圖象上的任意一點(diǎn)，

    則點(diǎn)也一定在函數(shù)的圖象上，

    而線段AB中點(diǎn)恒為點(diǎn)Q，

    由此即知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱。

    這也就表明，存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)Q的直線若能與函數(shù)的圖象圍成兩個(gè)封閉圖形，

    則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等。

    解法二：

   （Ⅰ）同解法一。

   （Ⅱ）（i）由

    得

    是[2，+∞）上的增函數(shù)，

    在[2，+∞）上恒成立，

    即在[2，+∞）上恒成立。

    設(shè)

   

    即不等式在[1，+∞）上恒成立。

    所以在[1，+∞）上恒成立。

    所以，可得，

    故，好的最大值為3。

   （ii）由（i）得

    將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)長(zhǎng)度單位，再向下平移個(gè)長(zhǎng)度單位，所得圖象相應(yīng)的函數(shù)解析式為

    由于，所以為奇函數(shù)，

    故的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱。

    由此即得，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱。

    這也就表明，存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)Q的直線若能與函數(shù)的圖象圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等。