Question

已知函數f（x）=e^x-a（x+1）在x=ln2處的切線的斜率為1．（e為無理數，e=2.71828…）
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最小值；
（Ⅱ）當x≥0時，f（x）≥mx²恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數，由在x=ln2處的切線的斜率為1，求得a=1．再求導數，單調區(qū)間和極值，也為最值；
（Ⅱ）記g（x）=e^x-x-1-mx²，求出導數，設h（x）=g′（x）=e^x-1-2mx，求出導數，討論①m≤

1

2

，
②m＞

1

2

的函數的單調性，求出最值，即可判斷．

解答： 解：（Ⅰ） f′（x）=e^x-a，由已知，得f′（ln2）=2-a=1∴a=1． 
此時f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1，
∴當x＜0時，f′（x）＜0；當x＞0時，f′（x）＞0． 
∴當x=0時，f（x）取得極小值，該極小值即為最小值，
∴f（x）_min=f（0）=0；
（Ⅱ）記g（x）=e^x-x-1-mx²，g′（x）=e^x-1-2mx，
設h（x）=g′（x）=e^x-1-2mx，則h′（x）=e^x-2m，
①當m≤

1

2

時，h′（x）≥0（x≥0），h（x）≥h（0）=0，
∴g′（x）≥0，∴g（x）≥g（0）=0，∴m≤

1

2

時滿足題意；
②當m＞

1

2

時，令h′（x）=0，得x=ln2m＞0，
當x∈[0，ln2m]，h′（x）＜0，h（x）在此區(qū)間上是減函數，h（x）≤h（0）=0，
∴g（x）在此區(qū)間上遞減，∴g（ln2m）≤g（0）=0不合題意．
綜合得m的取值范圍為(-∞，

1

2

]．

點評：本題考查導數的綜合應用：求單調區(qū)間、求極值和求最值，考查不等式的恒成立問題轉化為求最值，屬于中檔題．