Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c（其中b，c為實(shí)常數(shù)）．
（1）若b＞2，且y=f（sinx）（x∈R）的最大值為5，最小值為﹣1，求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）是否存在這樣的函數(shù)y=f（x），使得{y|y=x2+bx+c，﹣1≤x≤0}=[﹣1，0]，若存在，求出函數(shù)y=f（x）的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）記集合A={x|f（x）=x，x∈R}，B={x|f（f（x））=x，x∈R}．
①若A≠，求證：B≠；
②若A=，判斷B是否也為空集．

Answer 1

【答案】
（1）解：由條件知f（x）=x2+bx+c的最大值為5，最小值為﹣1

而b＞2，則對(duì)稱軸 ，

則 ，即 ，

解得

則f（x）=x2+3x+1．

（2）解：f（x）=x2+bx+c，﹣1≤x≤0，對(duì)稱軸x=﹣ ，

若b≥2，則 ，則 ，

解得 ，此時(shí)f（x）=x2+2x，

若b≤0，則 ，則 ，

解得 ，此時(shí)f（x）=x2﹣1，

若0＜b≤1，則 ，則 ，

解得 （舍）或 （舍），

此時(shí)不存在函數(shù)f（x），若1＜b＜2，則 ，

則 ，解得 （舍）或 （舍），此時(shí)不存在函數(shù)f（x），

綜上所述存在函數(shù)f（x）=x2﹣1和f（x）=x2+2x滿足條件

（3）解：由f（x）=x2+bx+c得f（f（x））=f2（x）+bf（x）+c及c=f（x）﹣x2﹣bx，

由f（f（x））=x得到f2（x）+bf（x）+c=x，即f2（x）+bf（x）+f（x）﹣x2﹣bx=x，

整理得到f2（x）﹣x2+b（f（x）﹣x）+（f（x）﹣x）=0，

即（f（x）﹣x）（f（x）+x+b+1）=0①

即f（x）﹣x=0或f（x）+x+b+1=0，

即x2+（b﹣1）x+c=0②或x2+（b+1）x+b+c+1=0③

方程②的判別式△=（b﹣1）2﹣4c

方程③的判別式 ，

①若A≠，即f（x）﹣x=0有解，即x2+（b﹣1）x+c=0有解，即△≥0，則①有解，

即B≠，

②若A=，即△＜0，則△1＜0，②和③均無解，則①無解，即B=．

【解析】（1）求出函數(shù)的對(duì)稱軸小于﹣1，得到關(guān)于b，c的方程組，解出即可；（2）求出f（x）的對(duì)稱軸，通過討論對(duì)稱軸的位置，結(jié)合函數(shù)的值域求出b，c的值，從而求出f（x）的表達(dá)式即可；（3）通過整理方程得到x2+（b﹣1）x+c=0或x2+（b+1）x+b+c+1=0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．