Question

如圖，分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫(huà)半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域．
（1）若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，求該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率？
（2）給正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都作上一個(gè)標(biāo)記，現(xiàn)有四種標(biāo)記可供選擇，記“任一線段上（四邊）的兩個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)記都不同”為事件A，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是矩形面積，而滿足條件的陰影區(qū)域，可以通過(guò)空白區(qū)域面得到，空白區(qū)域可以看作是由8部分組成，每一部分是由邊長(zhǎng)為

AB

2

的正方形面積減去半徑為

AB

2

的四分之一圓的面積得到．
（2）先根據(jù)乘法原理計(jì)算出基本事件的總數(shù)，再對(duì)事件A進(jìn)行分類討論：包含：用兩種標(biāo)記，用三種標(biāo)記，用四種標(biāo)記，得出事件A包含的基本事件數(shù)，最后利用等可能事件的概率計(jì)算公式求解．

解答：解：（1）由題意知本題是一個(gè)幾何概型，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，
∵試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是矩形面積S=2×2=4，
空白區(qū)域的面積是2（4-π）=8-2π，
∴陰影區(qū)域的面積為4-（8-2π）=2π-4
∴由幾何概型公式得到P=

2π-4

4

=

π

2

-1，
（2）基本事件的總數(shù)4 ⁴
事件A包含：用兩種標(biāo)記，則ACBD顏色相同，A₄²種；
用三種標(biāo)記，則AC或BD顏色相同有2A₄³種；
用四種標(biāo)記有A₄⁴種
所以事件A包含的基本事件數(shù)為84種
所以P（A）=

21

64

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型、等可能事件的概率，且把幾何概型同幾何圖形的面積結(jié)合起來(lái)，幾何概型和古典概型是高中必修中學(xué)習(xí)的，高考時(shí)常以選擇和填空出現(xiàn)，有時(shí)文科會(huì)考這種類型的解答．