已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,數(shù)列{an+Sn}是公差為2的等差數(shù)列.
(1)設(shè)bn=an-2,證明:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{nbn}的前n項和.
考點:數(shù)列的求和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)利用已知條件求出{bn}的首項,以及
an+1-2
an-2
為常數(shù)即可證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.
(2)直接利用錯位相減法求解數(shù)列的和即可.
解答: (1)證明:∵數(shù)列{an+Sn}是公差為2的等差數(shù)列,由題意得a1-2=-1,
∴(an+1+Sn+1)-(an+Sn)=2,即an+1=
an+2
2

又∵
an+1-2
an-2
=
an+2
2
-2
an-2
=
1
2

∴{bn}是首項為-1,公比為
1
2
的等比數(shù)列.…(6分)
(2)解:由(2)得bn=-(
1
2
n-1,∴nbn=-n•(
1
2
n-1,
設(shè)Tn=1+2•
1
2
+3•(
1
2
2+…+n•(
1
2
n-1,①
1
2
Tn=
1
2
+2•(
1
2
2+3•(
1
2
3+…+n•(
1
2
n,②
①-②得
1
2
Tn=1+
1
2
+(
1
2
2+…+(
1
2
n-1-n•(
1
2
n,
1
2
Tn=
1-(
1
2
)n
1-
1
2
-n•(
1
2
n,∴Tn=4-(n+2)•(
1
2
n-1,
∴數(shù)列{nbn}的前n項和為(n+2)•(
1
2
n-1-4.…(12分)
點評:本題考查等比數(shù)列的判斷,錯位相減法求法數(shù)列的前n項和,基本知識以及基本方法的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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5
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,則z=x-y的最大值是
 

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A、f(x)=
4x4
 g(x)=(
4x
4
B、f(x)=x  g(x)=
3x3
C、f(x)=1  g(x)=x0
D、f(x)=
x2-4
x+2
  g(x)=x-2

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