Question

對某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：

分組	頻數(shù)	頻率
[10，15）	5	0.25
[15，20）	12	n
[20，25）	m	p
[25，30）	1	0.05
合計(jì)	M	1

（Ⅰ）求出表中M，p及圖中a的值；
（Ⅱ）若該校高一學(xué)生有360人，試估計(jì)他們參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[15，20）內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅲ）學(xué)校決定對參加社區(qū)服務(wù)的學(xué)生進(jìn)行表彰，對參加活動(dòng)次數(shù)的區(qū)間[25，30）內(nèi)的學(xué)生發(fā)放價(jià)值80元的學(xué)習(xí)用品，對參加活動(dòng)次數(shù)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的學(xué)生發(fā)放價(jià)值60元的學(xué)習(xí)用品，對參加活動(dòng)次數(shù)在區(qū)間[15，20）內(nèi)的學(xué)生發(fā)放價(jià)值40元的學(xué)習(xí)用品，對參加活動(dòng)次數(shù)在區(qū)間[10，15）內(nèi)的學(xué)生發(fā)放價(jià)值20元的學(xué)習(xí)用品，在所取樣本中，任意取了2人，并設(shè)X為此2人所獲得用品價(jià)值之差的絕對值，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意知

5

M

=0.25，

12

M

=n，

m

M

=p，

1

M

=0.05，又5+12+m+1=M，由此能求出表中M，p及圖中a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）能求出參加服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[15，20）上的人數(shù)．
（Ⅲ）所取出的確人所獲得學(xué)習(xí)用品價(jià)值之差的絕對值X可能為0元、20元、40元、60元，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知

5

M

=0.25，

12

M

=n，

m

M

=p，

1

M

=0.05，
又5+12+m+1=M，
解得M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
∴組的頻率與組距之比a為0.12．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知參加服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[15，20）上的人數(shù)為：
360×0.6=216人．
（Ⅲ）所取出的確人所獲得學(xué)習(xí)用品價(jià)值之差的絕對值X可能為0元、20元、40元、60元，
P（X=0）=

C 2 5 C 2 12 C 2 2

C 2 20

=

77

190

，
P（X=20）=

C 1 5 C 1 12 + C 1 12 C 1 2 + C 1 2 C 1 1

C 2 20

=

86

190

，
P（X=40）=

C 1 5 C 1 2 + C 1 12 C 1 1

C 2 20

=

22

190

，
P（X=60）=

C 1 5 C 1 1

C 2 20

=

5

190

，
∴X的分布列為：

X	0	20	40	60
P	77 190	86 190	22 190	5 190

E（X）=0×

77

190

+20×

86

190

+40×

22

190

+60×

5

190

=

290

19

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．