Question

已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(2,0)，斜率為直線(xiàn)l和拋物線(xiàn)y²=2x相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,求：(1)|PM|； (2)|AB|.

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)P（2,0）的直線(xiàn)方程的參數(shù)方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)的方程得到一個(gè)含參數(shù)t二次方程.通過(guò)韋達(dá)定理即定點(diǎn)到中點(diǎn)的距離可得故填.
（2）弦長(zhǎng)公式|AB|＝|t₂－t₁|再根據(jù)韋達(dá)定理可得故填.本題主要知識(shí)點(diǎn)是定點(diǎn)到弦所在線(xiàn)段中點(diǎn)的距離.弦長(zhǎng)公式.這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)都是參數(shù)方程中的長(zhǎng)測(cè)知識(shí)點(diǎn).特別是到中點(diǎn)的距離的計(jì)算要理解清楚.
試題解析：(1)∵直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(2，0)，斜率為
設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為α,tanα=sinα=cosα=
∴直線(xiàn)l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))(*)         1分
∵直線(xiàn)l和拋物線(xiàn)相交，將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入拋物線(xiàn)方程y²=2x中，整理得
8t²－15t－50＝0,且Δ=15²+4×8×50>0,   
設(shè)這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根為t₁、t₂,
由根與系數(shù)的關(guān)系，得t₁＋t₂＝t₁t₂＝        3分
由M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，根據(jù)t的幾何意義，
得                          4分
(2)|AB|＝|t₂－t₁|
＝              7分