Question

某種商品的成本為5元/件，開始按8元/件銷售，銷售量為50件，為了獲取最大利潤(rùn)，商家先后采取了提價(jià)與降價(jià)兩種措施進(jìn)行試銷．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)：銷售價(jià)每上漲1元每天銷售量就減少10件；而降價(jià)后，日銷售量Q（件）與實(shí)際銷售價(jià)x（元）滿足關(guān)系Q=

39(2x2-29x+107)(5＜x＜7) 198-6x x-5 (7≤x＜8)

（1）求總利潤(rùn)（利潤(rùn)=銷售額-成本）y（元）與實(shí)際銷售價(jià)x（件）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試問：當(dāng)實(shí)際銷售價(jià)為多少元時(shí)，總利潤(rùn)最大．

Answer 1

分析：（1）依據(jù)題意，得總利潤(rùn)（利潤(rùn)=銷售額-成本）y（元）與實(shí)際銷售價(jià)x（件）的函數(shù)關(guān)系式即可，它是一個(gè)分段函數(shù)的形式．（2）由（1）得：當(dāng)5＜x＜7時(shí)，y=39（2x³-39x²+252x-535），接下來(lái)利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性，從而得出此函數(shù)的最大值即可．

解答：解：（1）據(jù)題意，得y=

39(2x2-29x+107)(x-5)  (5＜x＜7) 198-6x x-5 (x-5)                (7≤x＜8) [50-10(x-8)](x-5)          (x≥8)

（4分）
=

39•(2x3-39x2+252x-535)(5＜x＜7) 6(33-x)      (7≤x＜8) -10x2+180x-650  (x≥8)

（5分）

（2）由（1）得：當(dāng)5＜x＜7時(shí)，y=39（2x³-39x²+252x-535）
y'=234（x²-13x+42）=234（x-6）（x-7）
當(dāng)5＜x＜6時(shí)，y'＞0，y=f（x）為增函數(shù)
當(dāng)6＜x＜7時(shí)，y'＜0，y=f（x）為減函數(shù)
∴當(dāng)x=6時(shí)，f（x）_極大值=f（16）=195（8分）
當(dāng)7≤x＜8時(shí)，y=6（33-x）∈（150，156]
當(dāng)x≥8時(shí)，y=-10（x-9）²+160
當(dāng)x=9時(shí)，y_極大=160（10分）
綜上知：當(dāng)x=6時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大值為：195（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于中檔題．本題主要考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想．