【題目】如圖，某隧道的剖面圖是由半圓及矩形組成，交通部門擬在隧道頂部安裝通風設備（視作點），為了固定該設備，計劃除從隧道最高點處使用鋼管垂直向下吊裝以外，再在兩側(cè)自兩點分別使用鋼管支撐.已知道路寬，設備要求安裝在半圓內(nèi)部，所使用的鋼管總長度為.

（1）①設，將表示為關于的函數(shù)；

②設，將表示為關于的函數(shù)；

（2）請選用（1）中的一個函數(shù)關系式，說明如何設計，所用的鋼管材料最�。�

【答案】（1）①；②（2）見解析

【解析】

（1）延長交于點，利用解直角三角形可得且.

（2）選取②中的函數(shù)關系式，利用導數(shù)可求其最小值.

（1）延長交于點，則，且為的中點，

所以，由對稱性可知，.

①若，則，，

在中，，

所以，

②若，則，

在中，，，

所以，

所以.

（2）選取②中的函數(shù)關系式，，

記，

則由及可得，，

當時，此時單調(diào)遞減，

當時，此時單調(diào)遞增，

所以當時，取得最小值，

從而鋼管總長度為取得最小值，即所用的鋼管材料最省.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知是半圓的直徑，，是將半圓圓周四等分的三個分點．

（1）從這5個點中任取3個點，求這3個點組成直角三角形的概率；

（2）在半圓內(nèi)任取一點，求的面積大于的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)(a，bR)的導函數(shù)為,已知，是的兩個不同的零點．

（1）證明：；

（2）當b＝0時，若對任意x＞0，不等式恒成立，求a的取值范圍；

（3）求關于x的方程的實根的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，四邊形BDEF是矩形，平面平面ABCD，，H是CF的中點.

（1）求證：平面BDEF；

（2）求直線DH與平面CEF所成角的正弦值；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一點，且垂直于軸，連結(jié)并延長交橢圓于另一點，設.

（1）若點的坐標為，求橢圓的方程及的值；

（2）若，求橢圓的離心率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】教材曾有介紹：圓上的點處的切線方程為.我們將其結(jié)論推廣：橢圓（）上的點處的切線方程為，在解本題時可以直接應用.已知，直線與橢圓：（）有且只有一個公共點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設為坐標原點，過橢圓上的兩點、分別作該橢圓的兩條切線、，且與交于點.當變化時，求面積的最大值；

（3）若是橢圓上不同的兩點，軸，圓過且橢圓上任意一點都不在圓內(nèi)，則稱圓為該橢圓的一個內(nèi)切圓.試問：橢圓是否存在過左焦點的內(nèi)切圓？若存在，求出圓心的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在“數(shù)學發(fā)展史”知識測驗后,甲、乙、丙三人對成績進行預測:

甲說:我的成績比乙高;

乙說:丙的成績比我和甲的都高;

丙說:我的成績比乙高.

成績公布后,三人成績互不相同且只有一個人預測正確,那么三人中預測正確的是________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的右焦點為F，點A（一2，2)為橢圓C內(nèi)一點。若橢圓C上存在一點P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，則m的最大值是___．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖甲是某商店2018年（按360天計算）的日盈利額（單位：萬元）的統(tǒng)計圖.

（1）請計算出該商店2018年日盈利額的平均值（精確到0.1，單位：萬元）：

（2）為了刺激消費者，該商店于2019年1月舉行有獎促銷活動，顧客凡購買一定金額的高品后均可參加抽獎.隨著抽獎活動的有效開展，參與抽獎活動的人數(shù)越來越多，該商店對前5天抽獎活動的人數(shù)進行統(tǒng)計如下表：（表示第天參加抽獎活動的人數(shù)）

1

2

3

4

5

50

60

70

80

100

經(jīng)過進一步統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)與具有線性相關關系.

（ⅰ）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程：

（ⅱ）該商店采取轉(zhuǎn)盤方式進行抽獎（如圖乙），其中轉(zhuǎn)盤是個八等分的圓.每位顧客最多兩次抽獎機會，若第一次抽到獎，則抽獎終止，若第一次未抽到獎，則再提供一次抽獎機會.抽到一等獎的獎品價值128元，抽到二等獎的獎品價值32元.若該商店此次抽獎活動持續(xù)7天，試估計該商店在此次抽獎活動結(jié)束時共送出價值為多少元的獎品（精確到0.1，單位：萬元）？

（3）用（1）中的2018年日盈利額的平均值去估計當月（共31天）每天的日盈利額.若商店每天的固定支出約為1000元，促銷活動日的日盈利額比平常增加20%，則該商店當月的純利潤約為多少萬元？（精確到0.1，純利潤=盈利額-固定支出-抽獎總獎金數(shù)）

參考公式及數(shù)據(jù)：，，，.

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