Question

 如圖（1）在等腰中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC和BC邊的中點(diǎn)，，現(xiàn)將沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（如圖（2））

    （I）試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；

    （II）求二面角E-DF-C的余弦值；

    （III）在線段BC是否存在一點(diǎn)P，但APDE？證明你的結(jié)論．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （I）如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點(diǎn)，得EF//AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．………………4分

【解】（Ⅲ）在線段BC上不存在點(diǎn)P，使AP⊥DE，………………………  9分

證明如下：在圖2中, 作AG⊥DE,交DE于G交CD于Q由已知得

∠AED＝120°，于是點(diǎn)G在DE的延長線上，從而Q在DC的延長線

上，過Q作PQ⊥CD交BC于P∴PQ⊥平面ACD ∴PQ⊥DE  

∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE．但P在BC的延長線上�！�……………… 12分

【法二】（Ⅱ）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DB、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)CD＝a，則AC＝BC＝2a , AD＝DB＝則A（0，0，），B（，0，0），

C（0，．………………………  5分

取平面CDF的法向量為設(shè)平面EDF的法向量為，

則 得，…………6分

，……………………………………… 7分

所以二面角E—DF—C的余弦值為；…………………………… 8分

【解】（Ⅲ）設(shè)，

        又， ………………………………………  9分

         ………………………11分

    把，可知點(diǎn)P在BC的延長線上

    所以在線段BC上不存在點(diǎn)P使AP⊥DE．……………………………………………… 12分