Question

1．函數(shù)$f（x）=cos（2x-\frac{2π}{3}）+4{cos^2}x-2-\frac{3}{3x-π}（x∈[-\frac{11π}{12}，\frac{19π}{12}]）$所有零點(diǎn)之和為（　�。�

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{4π}{3}$
• C． 2π
• D． $\frac{8π}{3}$

Answer 1

分析 函數(shù)$f（x）=cos（2x-\frac{2π}{3}）+4{cos^2}x-2-\frac{3}{3x-π}（x∈[-\frac{11π}{12}，\frac{19π}{12}]）$所有零點(diǎn)?函數(shù)g（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）+4cos²x-2與h（x）=$\frac{3}{3x-π}$的交點(diǎn)橫坐標(biāo)．
可得函數(shù)g（x），h（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{3}，0$）對稱，畫出函數(shù)g（x），h（x）的圖象，結(jié)合圖象可求解．

解答 解：函數(shù)$f（x）=cos（2x-\frac{2π}{3}）+4{cos^2}x-2-\frac{3}{3x-π}（x∈[-\frac{11π}{12}，\frac{19π}{12}]）$所有零點(diǎn)?函數(shù)g（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）+4cos²x-2與h（x）=$\frac{3}{3x-π}$的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
g（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）+4cos²x-2=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+$\frac{3}{2}cos2x$=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），h（x）=$\frac{3}{3x-π}$=$\frac{1}{x-\frac{π}{3}}$，
可得函數(shù)g（x），h（x）的圖象，關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{3}，0$）對稱．
函數(shù)g（x），h（x）的圖象如下：（只需畫出直線x=$\frac{π}{3}$右側(cè)部分）
結(jié)合圖象可得在區(qū)間[-$\frac{11π}{12}$，$\frac{19π}{12}$]，函數(shù)g（x），h（x）的圖象由4個交點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{3}，0$）對稱．
所有零點(diǎn)之和為2×$\frac{π}{3}$+2×$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，
故選：B

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．