Question

若函數(shù)y=a^x+b（a＞0，a≠1）的圖象過P（0，0）與Q（1，9）兩點(diǎn)，設(shè)函數(shù)f（x）=log_a（x+b）．
（1）若函數(shù)g（x）=f（x）+f（x+m+1）在區(qū)間[2，+∞）上是單調(diào)遞增的，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）令h（x）=f（2^x）+f（2^x+1），不等式h（x）＞lgk對(duì)任意的x∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意得到方程組

0=a0+b 9=a1+b

，從而解出a、b；代入得到g（x）=lg（x-1）+lg（x+m），從而求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）易知h（x）=lg（2^x-1）+lg（2^x）在[1，2]上是增函數(shù)，恒成立問題化成最值問題．

解答： 解：（1）由題意，

0=a0+b 9=a1+b

，
解得，a=10，b=-1，
則f（x）=lg（x-1），
則g（x）=lg（x-1）+lg（x+m），
∵g（x）=lg（x-1）+lg（x+m）在區(qū)間[2，+∞）上是單調(diào)遞增的，
∴由二次函數(shù)的圖象可知，m＜2，
（2）h（x）=lg（2^x-1）+lg（2^x）在[1，2]上是增函數(shù)，
則h（x）_min=h（1）=lg2，
則不等式h（x）＞lgk對(duì)任意的x∈[1，2]恒成立可化為
lg2＞lgk，
則0＜k＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．