已知一條曲線C在y軸右邊,C上任意一點到點F1(2,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是2.
(1)求曲線C的方程;
(2)若雙曲線M:x2-
y2
t
=1(t>0)的一個焦點為F1,另一個焦點為2,過F2的直線l與M相交于A、B兩點,直線l的法向量為
n
=(k,-1)(k>0),且
OA
OB
=0,求k的值.
分析:(1)根據(jù)條件建立C的軌跡方程,然后求出曲線C的方程.
(2)設直線l的方程,聯(lián)立直線與雙曲線,利用
OA
OB
=0,求出參數(shù)k 的值.
解答:解:(1)設P(x,y)是曲線C上任意一點,…1分
那么點P(x,y)滿足
(x-2)2+y2
-x=2,x>0
…3分
化簡,得y2=8x,(x>0),即為曲線C的方程.…4分(或者利用拋物線的定義也可以)
(2)雙曲線M一個焦點坐標為(2,0),所以1+t=4,即k=3…5分
所以雙曲線M的方程為:x2-
y2
3
=1
.…6分
設直線l的方程為y=k(x+2),
y=k(x+2)
x2-
y2
3
=1
得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0  …7分
所以
x1+x2=-
4k2
3-k2
x1x2=-
4k2+3
3-k2
…8分
OA
OB
=0得x1x2+y1y2=0 …9分
(1+k2)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=0
代入化簡,并解得k=±
3
5
15
5
(舍去負值),所以k=
15
5
 …10分.
點評:本題主要考查了拋物線的方程,直線與雙曲線的位置關系的應用,利用直線和雙曲線聯(lián)立,轉化為根與系數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵,考查學生的運算能力.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(Ⅰ)求曲線C的方程
(Ⅱ)是否存在正數(shù)m,對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有
FA
FB
<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都等于1,
(1)求曲線C的方程;
(2)若過點M(-1,0)的直線與曲線C有兩個交點A,B,且FA⊥FB,求直線l的斜率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知一條曲線C在y軸右側,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程;
(2)(文科做)已知點P是曲線C上一個動點,點Q是直線x+2y+5=0上一個動點,求|PQ|的最小值.
(理科做)是否存在正數(shù)m,對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有
FA
FB
<0
?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•臨沂一模)已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程;
(2)設n是過原點的直線,l是與n垂直相交于點P,且與曲線C相交于A、B兩點的直線,且|
.
OP
|=1
,問:是否存在上述直線l使
.
AP
.
PB
=1
成立?若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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