已知函數(shù)φ(x)=
a
x+1
,a為正常數(shù).
(1)若f(x)=lnx+φ(x),且a=
9
2
,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若g(x)=|lnx|+φ(x),且對任意x1,x2∈(0,2],x1≠x2,都有
g(x2)-g(x1)
x2-x1
<-1
,求a的取值范圍.
分析:(1)先對函數(shù)y=f(x)進(jìn)行求導(dǎo),然后令導(dǎo)函數(shù)大于0(或小于0)求出x的范圍,根據(jù)f′(x)>0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間,f′(x)<0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間,即可得到答案.
(2)設(shè)h(x)=g(x)+x,依題意得出h(x)在(0,2]上是減函數(shù).下面對x分類討論:①當(dāng)1≤x≤2時,②當(dāng)0<x<1時,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從及最值,即可求得求a的取值范圍.
解答:解:(1)f′(x)=
1
x
-
a
(x+1)2
=
x2+(2-a)x+1
x(x+1)2
,(2分)
a=
9
2
,令f′(x)>0,得x>2,或x<
1
2

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,
1
2
)
,(2,+∞).(6分)
(2)∵
g(x2)-g(x1)
x2-x1
<-1
,
g(x2)-g(x1)
x2-x1
+1<0

g(x2)+x2-[g(x1)+x1]
x2-x1
<0
,(8分)
設(shè)h(x)=g(x)+x,依題意,h(x)在(0,2]上是減函數(shù).
當(dāng)1≤x≤2時,h(x)=lnx+
a
x+1
+x
,h′(x)=
1
x
-
a
(x+1)2
+1
,
令h′(x)≤0,得:a≥
(x+1)2
x
+(x+1)2=x2+3x+
1
x
+3
對x∈[1,2]恒成立,
設(shè)m(x)=x2+3x+
1
x
+3
,則m′(x)=2x+3-
1
x2
,
∵1≤x≤2,∴m′(x)=2x+3-
1
x2
>0
,
∴m(x)在[1,2]上遞增,則當(dāng)x=2時,m(x)有最大值為
27
2
,
a≥
27
2
(12分)
當(dāng)0<x<1時,h(x)=-lnx+
a
x+1
+x
h′(x)=-
1
x
-
a
(x+1)2
+1
,
令h′(x)≤0,得:a≥-
(x+1)2
x
+(x+1)2=x2+x-
1
x
-1
,
設(shè)t(x)=x2+x-
1
x
-1
,則t′(x)=2x+1+
1
x2
>0
,
∴t(x)在(0,1)上是增函數(shù),
∴t(x)<t(1)=0,
∴a≥0,(15分)綜上所述,a≥
27
2
(16分)
點(diǎn)評:本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式的解法等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
(a-0.5)(x-1)
logax
,x<1
,x≥1
在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)是減函數(shù),則a的取值范圍是
0<a<0.5
0<a<0.5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•通州區(qū)一模)已知f(x)=
(a+2)x-2a ,(x<1)
logax            ,(x≥1)
是R上的增函數(shù),則a的取值范圍是
[2,+∞)
[2,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•嘉興一模)已知函數(shù)f(x)=mx3-x+
1
3
,以點(diǎn)N(2,n)為切點(diǎn)的該圖象的切線的斜率為3
(I)求m,n的值
(II)已知g(x)=-
a+1
2
x2+(a+1)x(a>0)
,若F(x)=f(x)+g(x)在[0,2]上有最大值1,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044

已知函數(shù)(x)=a+bcosx+csinx的圖象過A(0,1)B(1)兩點(diǎn),

  當(dāng)x[0, ]時恒有(x)≤2,求實(shí)數(shù)a的范圍.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044

已知函數(shù)(x)=a+bcosx+csinx的圖象過A(0,1)B(,1)兩點(diǎn),

  當(dāng)x[0, ]時恒有(x)≤2,求實(shí)數(shù)a的范圍.

 

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