Question

某人玩硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是

1

2

．棋盤上標有第0站、第1站、第2站、…、第m（m∈N，m≥100）站．一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋子向前跳一站；若擲出反面，則棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第m-1站（勝利大本營）或第m站（失敗大本營）時，該游戲結(jié)束．設(shè)棋子跳到第n站的概率為P_n．
（1）求P₀，P_l，P₂；
（2）寫出P_n與P_n-1，p_n-2的遞推關(guān)系；
（3）求證：玩該游戲獲勝的概率小于

2

3

．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合題設(shè)條件能夠求出P₀=1，P₁=

1

2

，P2=

1

2

+

1

2

×

1

2

=

3

4

．
（2）依題意，棋子跳到第n站（2≤n≤m）有兩種可能：第一種，棋子先到第n-2站，又擲出反面，其概率為

1

2

Pn-2；第二種，棋子先到第n-1站，又擲出正面，其概率為

1

2

Pn-1，由此能夠得到P_n與P_n-1，p_n-2的遞推關(guān)系．
（3）由Pn-Pn-1=-(

1

2

Pn-1-

1

2

Pn-2)(2≤n≤m)，知數(shù)列{P_n-P_n-1}（1≤n≤99）是首項為P1-P0=-

1

2

公比為

1

2

的等比數(shù)列，由此能證明玩該游戲獲勝的概率小于

2

3

．

解答：（1）解：依題意，得
P₀=1，P₁=

1

2

，
P2=

1

2

+

1

2

×

1

2

=

3

4

（3分）．
（2）解：依題意，棋子跳到第n站（2≤n≤m）有兩種可能：
第一種，棋子先到第n-2站，又擲出反面，其概率為

1

2

Pn-2；
第二種，棋子先到第n-1站，又擲出正面，其概率為

1

2

Pn-1
∴Pn=

1

2

P

n-1

+

1

2

P

n-2

           （3分）
（3）證明：∵Pn-Pn-1=

1

2

Pn-1+

1

2

Pn-2-Pn-1=-

1

2

Pn-1+

1

2

Pn-2
即Pn-Pn-1=-(

1

2

Pn-1-

1

2

Pn-2)(2≤n≤m)（2分）
可知數(shù)列{P_n-P_n-1}（1≤n≤99）是首項為P1-P0=-

1

2

公比為

1

2

的等比數(shù)列，
于是有P_m-1=P₀+（P₁-P₀）+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_m-1-P_m-2）
=1+(-

1

2

)+(-

1

2

)2+(-

1

3

)3+…+(-

1

2

)m-1=

2

3

[1-(

1

2

)m]＜

2

3

因此，玩該游戲獲勝的概率小于

2

3

．（2分）

點評：本題考查概率的應(yīng)用，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．