Question

設(shè)f（x）=

x

a(x+2)

，方程f （x）=x有唯一解，數(shù)列{x_n}滿足f （x₁）=1，x_n+1=f （x_n）（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

1

4

（2+a_n）²-

2an

an+2

（n∈N^*），求證：對一切n≥2的正整數(shù)都滿足

3

4

＜

1

x1+a1

+

1

2x2+a2

+…+

1

nxn+an

＜2．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x有唯一解可知對應(yīng)的方程有唯一的解可求a，進(jìn)而可求x_n+1與x_n的遞推關(guān)系，構(gòu)造等差數(shù)列可求
（2）由a₁=

1

2

，a_n+1=

1

4

（2+a_n）²•

2an

2+an

=

(2+an)an

2

整理可得

1

an+2

=

1

an

-

1

an+1

，把已知代入即可得

1

nxn

=

1

an

-

1

an+1

，然后利用裂項(xiàng)即可求和，進(jìn)而可證

解答：解：（1）由f（x）=x得ax²+（2a-1）x=0（a≠0）
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=

1

2

時，f（x）=x有唯一解x=0，
∴f(x)=

2x

x+2

當(dāng)f（x₁）=

2x1

2+x1

=1得x₁=2，由x_n+1=f （x_n）=

2xn

xn+2

可得

1

xn+1

-

1

xn

=

1

2

∴數(shù)列{

1

xn

}是首項(xiàng)為

1

x1

=

1

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列
∴

1

xn

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

1

2

n
∴xn=

2

n

（2）∵a₁=

1

2

，a_n+1=

1

4

（2+a_n）²•

2an

2+an

=

(2+an)an

2

　又a1=

1

2

∴

1

an+1

=

2

an(2+an)

=

1

an

-

1

an+2

　且a_n＞0，
∴

1

an+2

=

1

an

-

1

an+1

即

1

nxn

=

1

an

-

1

an+1

當(dāng)n≥2時，

1

x1+a1

+

1

2x2+a2

+…+

1

nxn+an

≥

1

2+ 1 2

+

1

2+ 5 8

=

82

105

＞

3

4

1

x1+a1

+

1

2x2+a2

+…+

1

nxn+an

=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an

-

1

an+1

）
=

1

a1

-

1

an+1

=2-

1

an+1

＜2
∴對一切n≥2的正整數(shù)都滿足

3

4

＜

1

x1+a1

+

1

2x2+a2

+…+

1

nxn+an

＜2．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的裂項(xiàng)求和在不等式中的應(yīng)用．