Question

已知函數(shù).
（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若函數(shù)在處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若，求在區(qū)間上的最大值．

Answer 1

（1）；（2）;(3) 當(dāng)時(shí)，在取得最大值;
當(dāng)時(shí), 取得最大值.

試題分析：（1）首先求出導(dǎo)數(shù)：，
代入得：.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023630837484.png" style="vertical-align:middle;" />為奇函數(shù)，所以必為偶函數(shù)，即，
所以.
（2）首先求出函數(shù)的極大值點(diǎn).又由題設(shè)：函數(shù)在處取得極大值.二者相等，便可得的值.
（3）.
由得：.
注意它的兩個(gè)零點(diǎn)的差恰好為1，且必有.
結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象，可知導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn).
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240236307901016.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以                           2分
由二次函數(shù)奇偶性的定義，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023630837484.png" style="vertical-align:middle;" />為奇函數(shù)，
所以為偶函數(shù)，即，
所以                                               4分
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240236307901016.png" style="vertical-align:middle;" />.
令，得，顯然.
所以隨的變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

 由此可知，函數(shù)在處取得極大值.
又由題設(shè)知：函數(shù)在處取得極大值，所以.
（3）.
令，得.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023631570406.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
當(dāng)時(shí)，對(duì)成立，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值;
當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，單調(diào)遞增，在時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值;
當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值;
綜上所述, 當(dāng)時(shí)，在取得最大值;
當(dāng)時(shí), 取得最大值.               13分