Question

已知向量

m

=(1，cosωx)，

n

=(sinωx，

3

)（ω＞0），函數(shù)f(x)=

m

•

n

，且f（x）圖象上一個(gè)最高點(diǎn)為P(

π

12

，2)，與P最近的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為(

7π

12

，-2)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)a為常數(shù)，判斷方程f（x）=a在區(qū)間[0，

π

2

]上的解的個(gè)數(shù)；
（3）在銳角△ABC中，若cos(

π

3

-B)=1，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

m

=(1，cosωx)，

n

=(sinωx，

3

)（ω＞0），函數(shù)f(x)=

m

•

n

，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，可得函數(shù)f（x）的解析式（含參數(shù)），進(jìn)而根據(jù)f（x）圖象上一個(gè)最高點(diǎn)為P(

π

12

，2)，與P最近的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為(

7π

12

，-2)，求出參數(shù)的值，即可得到答案．
（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的圖象和性質(zhì)，即可得到答案．
（3）由銳角△ABC中，若cos(

π

3

-B)=1，可以求出A的范圍，結(jié)合（1）中函數(shù)的解析式可得f（A）的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=

m

•

n

=sinωx+

3

cosωx=2(

1

2

sinωx+

3

2

cosωx)=2sin(ωx+

π

3

)．…（3分）
∵f（x）圖象上一個(gè)最高點(diǎn)為P(

π

12

，2)，與P最近的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為(

7π

12

，-2)，
∴

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，∴T=π，于是ω=

2π

T

=2．…（5分）
所以f(x)=2sin(2x+

π

3

)．…（6分）
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，由f(x)=2sin(2x+

π

3

)圖象可知：
當(dāng)a∈[

3

，2)時(shí)，f（x）=a在區(qū)間[0，

π

2

]上有二解；                   …（8分）
當(dāng)a∈[-

3

，

3

)或a=2時(shí)，f（x）=a在區(qū)間[0，

π

2

]上有一解；
當(dāng)a＜-

3

或a＞2時(shí)，f（x）=a在區(qū)間[0，

π

2

]上無解．…（10分）
（3）在銳角△ABC中，0＜B＜

π

2

，-

π

6

＜

π

3

-B＜

π

3

．
又cos(

π

3

-B)=1，故

π

3

-B=0，B=

π

3

．…（11分）
在銳角△ABC中，A＜

π

2

，A+B＞

π

2

，∴

π

6

＜A＜

π

2

．…（13分）

2π

3

＜2A+

π

3

＜

4π

3

，
∴sin(2A+

π

3

)∈(-

3

2

，

3

2

)，…（15分）
∴f(A)=2sin(2A+

π

3

)∈(-

3

，

3

)．
即f（A）的取值范圍是(-

3

，

3

)．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)中的恒等變換，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件，確定函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．