Question

17．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且不與頂點(diǎn)重合，過(guò)F₂作∠F₁PF₂的角平分線的垂線，垂足為A．若|OA|=b，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 由題設(shè)條件推導(dǎo)出PQ=PF₂，由雙曲線性質(zhì)推導(dǎo)出PF₁-PQ=QF₁=2a，由中位線定理推導(dǎo)出QF₁=2a=2OA=2，由此及彼能求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，
延長(zhǎng)F₂A交PF₁于Q，
∵PA是∠F₁PF₂的角平分線，∴PQ=PF₂，
∵P在雙曲線上，∴PF₁-PF₂=2a，
∴PF₁-PQ=QF₁=2b，
∵O是F₁F₂中點(diǎn)，A是F₂Q中點(diǎn)，
∴OA是F₂F₁Q的中位線，∴QF₁=2a=2OA=2，
∴a=1，c=$\sqrt{2}$，
∴雙曲線的離心率e=$\sqrt{2}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，要熟練掌握雙曲線的性質(zhì)．