Question

（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實數(shù)的最小值；

（2）若存在，使成立，求正實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由已知得x＞0，x≠1．

因f （x）在上為減函數(shù)，故在上恒成立． 1分

所以當x∈時，．

又， 2分

當，即時，．

所以于是，故a的最小值為． 4分

（2）命題“若存在 ，使成立”等價于“當時，有

”． 5分

由（Ⅰ），當時，，∴．

問題等價于：“當時，有”． 6分

①當時，由（1），在上為減函數(shù)，

則，故． 8分

②當a<時，由于在上的值域為

（�。�，即，在恒成立，故在上為增函數(shù)，

于是，，矛盾． 10分

（ⅱ），即，由的單調(diào)性和值域知，

存在唯一，使，且滿足：

當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)；

所以，， 12分

所以，，與矛盾． 13分

綜上，得 14分

考點：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的最值