Question

【題目】（本小題共12分）

如圖，邊長為3的正方形所在平面與等腰直角三角形所在平面互相垂直， ，且， .

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）略； （Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）過作交于，連接，先證明四邊形為平行四邊形，可得，從而根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點， 所在方向為軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則平面的法向量為，再算出平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）過作交于，連接因為， ，所以

又，所以故，

所以四邊形為平行四邊形，故，

而平面， 平面，

所以平面；

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點， 所在方向為軸正方向，建立平面

直角坐標(biāo)系，則， ， ，

平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為

，則，即

，不妨設(shè)，則

所求二面角的大小為 .

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用空間向量求二面角，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.