Question

4．甲、乙兩人各自獨(dú)立地進(jìn)行射擊比賽，甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$，假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響．
（Ⅰ）求甲射擊3次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率；
（Ⅱ）求兩人各射擊3次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“甲連續(xù)射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A₁，由題意，射擊3次，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由此能求出甲射擊3次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率．
（Ⅱ）記“甲射擊3次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A₂，“乙射擊3次，恰有1次擊中目標(biāo)”為事件B₂，甲、乙射擊相互獨(dú)立，由此能求出兩人各射擊3次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率．

解答 解：（Ⅰ）記“甲連續(xù)射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A₁，
由題意，射擊3次，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
故P（A₁）=1-P（$\overline{{A}_{1}}$）=1-（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{19}{27}$．…（4分）
（Ⅱ）記“甲射擊3次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A₂，
“乙射擊3次，恰有1次擊中目標(biāo)”為事件B₂，
則P（A₂）=${C}_{3}^{2}×（\frac{2}{3}）^{2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{4}{9}$，
P（B₂）=${C}_{3}^{1}×（\frac{3}{4}）×（1-\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{9}{64}$．
由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，
故P（A₂B₂）=P（A₂）P（B₂）=$\frac{4}{9}×\frac{9}{64}$=$\frac{1}{16}$．…（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．