已知雙曲線x2-=1,過點P(1,1)能否作直線l,與雙曲線交于A、B兩點,且點P是線段AB的中點?

不能作一條直線l與雙曲線交于A、B兩點,且P是線段AB的中點.


解析:

設A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,線段AB的中點為M(x,y).

設經(jīng)過點P的直線l的方程為y-1=k(x-1),即y=kx+1-k.

把y=kx+1-k代入雙曲線的方程x2-=1,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).    ①

所以x=.

由題意,得=1.解得k=2.

當k=2時，方程①成為2x2-4x+3=0.

根的判別式Δ=16-24＜0,方程①沒有實數(shù)解.

所以不能作一條直線l與雙曲線交于A、B兩點,且P是線段AB的中點.

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