Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為8，M，N，P分別是A₁B₁，AD，B B₁的中點．
（1）畫出過點M，N，P的平面與平面ABCD的交線以及與平面BB₁C₁C的交線；
（2）設平面PMN與棱BC交于點Q，求PQ的長．

Answer 1

解：（1）如圖所示：∵MP?平面ABB₁，
∴MP與底面ABCD的交點K必在側面ABB₁與底面ABCD的交線AB上，
∴過點M，N，P的平面與平面ABCD的交線是NK，（K在線段AB的延長線上），與平面BB₁C₁C的交線是PQ（Q在線段BC上）．∵BK∥A₁B₁，
∴，∴BK=4．
∵BQ∥AN，∴，
∴BQ=．
（2）由（1）可知：BQ=，BP=4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得PQ==．

分析：（1）根據(jù)MP與底面ABCD的交點K必在側面ABB₁與底面ABCD的交線AB上，連接NK交BC與Q，與平面BB₁C₁C的交線是PQ．
（2）根據(jù)（1）得到的交線PQ，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得．
點評：本題考查了平面與平面的交線及交線長等問題，正確畫出交線是解決問題的關鍵．