Question

設(shè)點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是橢圓C：

x2

a2

+y2=1（a＞1）的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且

PF1

•

PF2

的最小值為0．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線l上的兩點(diǎn)，且F₁M⊥l，F(xiàn)₂N⊥l，求四邊形F₁MNF₂面積S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用

PF1

•

PF2

的最小值為0，可得

PF1

•

PF2

=x²+y²-c²=

a2-1

a2

x²+1-c²，x∈[-a，a]，即可求橢圓C的方程；
（2）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程中，得到關(guān)于x的一元二次方程，由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，△=0，即可得到m，k的關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到d₁=|F₁M|，d₂=|F₂N|．當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則|d₁-d₂|=|MN|×|tanθ|，即可得到四邊形F₁MNF₂面積S的表達(dá)式，利用基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合當(dāng)k=0時(shí)，四邊形F₁MNF₂是矩形，即可得出S的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），則

F1P

=（x+c，y），

F2P

=（x-c，y），
∴

PF1

•

PF2

=x²+y²-c²=

a2-1

a2

x²+1-c²，x∈[-a，a]，
由題意得，1-c²=0⇒c=1⇒a²=2，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；  
（2）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程x²+2y²=2中，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．                
由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）=0，
化簡(jiǎn)得：m²=2k²+1．                          
設(shè)d₁=|F₁M|=

|-k+m|

k2+1

，d₂=|F₂N|=

|k+m|

k2+1

，
當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l的傾斜角為θ，
則|d₁-d₂|=|MN|×|tanθ|，
∴|MN|=

1

|k|

•|d₁-d₂|，
∴S=

1

2

•

1

|k|

•d₁-d₂|•（d₁+d₂）=

2|m|

k2+1

=

4|m|

m2+1

=

4

|m|+ 1 |m|

，
∵m²=2k²+1，∴當(dāng)k≠0時(shí)，|m|＞1，|m|+

1

|m|

＞2，
∴S＜2．
當(dāng)k=0時(shí)，四邊形F₁MNF₂是矩形，S=2．   
所以四邊形F₁MNF₂面積S的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量知識(shí)、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想．