Question

已知四邊形ABCD是矩形，AB=2，AD=3，E是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)．若∠AEF為鈍角，則線段BE長(zhǎng)度的取值范圍是

（1，2）

．

Answer 1

分析：以A為原點(diǎn)，AD、AB所在直線為x、y軸，建立直角坐標(biāo)系．以AF為直徑作圓，由圓的性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)E位于圓內(nèi)時(shí)，∠AEF為鈍角，因此求出圓的方程并算出圓與直線y=2的交點(diǎn)（1，2）和（2，2），得到當(dāng)E的橫坐標(biāo)m∈（1，2）內(nèi)時(shí)點(diǎn)E位于圓內(nèi)，利用兩點(diǎn)的距離公式即可算出線段BE長(zhǎng)度的取值范圍．

解答：解：以A為原點(diǎn)，AD、AB所在直線為x、y軸，建立直角坐標(biāo)系
∵矩形ABCD中，AB=2且AD=3，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)
∴F（3，1），設(shè)E（m，2）
以AF為直徑作圓，由圓的性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)E位于圓內(nèi)時(shí)，∠AEF為鈍角，
∵圓心為（

3

2

，

1

2

），半徑r=

10

2

∴圓的方程為（x-

3

2

）²+（y-

1

2

）²=

5

2

令y=2，可得x=1或2，即直線y=2與圓的交點(diǎn)為（1，2）和（2，2）
因此，當(dāng)E的橫坐標(biāo)m∈（1，2）內(nèi)時(shí)，點(diǎn)E位于圓內(nèi)時(shí)，∠AEF為鈍角
此時(shí)1＜BE＜2，即BE∈（1，2）
故答案為：（1，2）

點(diǎn)評(píng)：本題給出矩形滿足的條件，求動(dòng)點(diǎn)E滿足∠AEF為鈍角時(shí)BE長(zhǎng)度范圍．著重考查了解三角形、圓的方程和圓的幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．