Question

已知函數(shù)f（x）=（x+a）2+lnx．

（1）當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值；

（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，且x1∈（0，），證明：f（x1）﹣f（x2）＞﹣ln2．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）略

【解析】

試題分析：（1）定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720161655075835/SYS201411172016288012844530_DA/SYS201411172016288012844530_DA.003.png">，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則

，所以在上遞增，；

（2），因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720161655075835/SYS201411172016288012844530_DA/SYS201411172016288012844530_DA.011.png">在上遞增，所以在上恒成立即在上恒成立，即，而，在上遞減，當(dāng)時(shí)，，所以；（3）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720161655075835/SYS201411172016288012844530_DA/SYS201411172016288012844530_DA.021.png">，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，所以、是方程的兩根，因此，，且，，

所以

令，，在上單調(diào)遞減，，所以f（x1）﹣f（x2）＞﹣ln2.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則

∴在上遞增，

（2），

∵在上遞增，∴在上恒成立，

∴在上恒成立，

即，而，在上遞減，

當(dāng)時(shí)，，

∴

（3）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720161655075835/SYS201411172016288012844530_DA/SYS201411172016288012844530_DA.021.png">，

∵函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，∴、是方程的兩根，

∴，，且，，

∴

令)

∴在上單調(diào)遞減，

∴

∴f（x1）﹣f（x2）＞﹣ln2.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)性與最值；2.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性；3.不等式恒成立問題；