Question

有一個所有棱長均為a的正四棱錐P-ABCD，還有一個所有棱長均為a的正三棱錐，將此三棱錐的一個面與正四棱錐的一個側面完全重合的黏在一起，得到一個如圖所示的多面體；
（1）證明：P，E，B，A四點共面；
（2）求三棱錐A-PDE的體積；
（3）在底面ABCD內找一點M，使EM⊥面PBC，指出M的位置，并說明理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面的基本性質及推論

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取PB的中點F，連結AF，EF，CF，AC，由已知得∠ACF為二面角P-AB-C的平面角，∠EFC為二面角E-PB-C的平面角，由余弦定理得cos∠AFC=-

1

3

，cos∠EFC=

1

3

，從而∠AFC+∠EFC=π，由此能證明P，E，B，A四點共面．
（2）由已知得AP∥BE，BE∥平面APD，從而V_A-PDE=V_B-APD=V_P-ABD，由此能求出三棱錐A-PDE的體積．
（3）ME⊥平面PBC，交平面PBC于點H，則H為△PBC的重心，由已知得H為△ACE的重心，從而求出M為線段AC的中點．

解答： （1）證明：取PB的中點F，連結AF，EF，CF，AC，
∵棱長均為a的正三棱錐的各面均為正三角形，
∴AF⊥PB，CF⊥PB，且AF=CF=

3

2

a，
∴∠ACF為二面角P-AB-C的平面角，∠EFC為二面角E-PB-C的平面角，
在△AFC中，由余弦定理得：cos∠AFC=

AF2+CF2-AC2

2AF•CF

=-

1

3

，
在△EFC中，由余弦定理得：cos∠EFC=

EF2+CF2-EC2

2EF•CF

=

1

3

，
∴∠AFC+∠EFC=π，
∴P，E，B，A四點共面．
（2）解：∵P，E，B，A四點共面，∠PAB=60°，∠ABE=120°，
∴AP∥BE，BE∥平面APD，
∴三棱錐A-PDE的體積：
V_A-PDE=V_B-APD=V_P-ABD=

1

3

×

1

2

×a×a×

2

2

a=

2

12

a3．
（3）解：∵ME⊥平面PBC，交平面PBC于點H，
則H為△PBC的重心，
連結AC，在△ACE中，∵

CH

HF

=

1

2

，∴H為△ACE的重心，
∴M為線段AC的中點．

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．