Question

高三年級有3名男生和1名女生為了報某所大學，事先進行了多方詳細咨詢，并根據(jù)自己的高考成績情況，最終估計這3名男生報此所大學的概率都是

1

2

，這1名女生報此所大學的概率是

1

3

．且這4人報此所大學互不影響．
（Ⅰ）求上述4名學生中報這所大學的人數(shù)中男生和女生人數(shù)相等的概率；
（Ⅱ）在報考某所大學的上述4名學生中，記ξ為報這所大學的男生和女生人數(shù)的和，試求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）記通過考試的男生有a人，女生有b人，男生和女生人數(shù)相等即“a=b=0”或“a=b=1”，且二者互斥，由此能求出a=b的概率．
（Ⅱ）由題意知ξ=0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（Ⅰ）記通過考試的男生有a人，女生有b人，男生和女生人數(shù)相等即“a=b=0”或“a=b=1”，且二者互斥，
∴a=b的概率P（a=b）=

2

3

C

0 3

•(

1

2

)0•(

1

2

)3+

1

3

C

1 3

•

1

2

•(

1

2

)2=

5

24

．
（Ⅱ）由題意知ξ=0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

2

3

C

3 3

•(

1

2

)3=

1

12

，
P（ξ=1）=

1

3

C

0 3

•(

1

2

)3+

2

3

C

1 3

•

1

2

•(

1

2

)2=

7

24

，
P（ξ=2）=

1

3

C

1 3

•

1

2

•(

1

2

)2+

2

3

C

2 3

•(

1

2

)2•

1

2

=

3

8

，
P（ξ=3）=

1

3

C

2 3

•(

1

2

)2•

1

2

+

2

3

C

3 3

•(

1

2

)3=

5

24

，
P（ξ=4）=

1

3

C

2 3

•(

1

2

)3=

1

24

，

ξ	0	1	2	3	4
P	1 12	7 24	3 8	5 24	1 24

∴Eξ=0×

1

12

+1×

7

24

+2×

3

8

+3×

5

24

+4×

1

24

=

11

6

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題．