Question

16．已知：函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}{sin^2}$x+sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）把函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求$g（\frac{π}{6}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式為f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$，進(jìn)而利用周期公式即可計(jì)算得解．
（Ⅱ）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），即可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅲ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的規(guī)律可求$g（x）=2sinx+\sqrt{3}$，進(jìn)而利用特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為13分）
解：$f（x）=2\sqrt{3}{sin^2}x+sin2x$=$\sqrt{3}（1-cos2x）+sin2x$
=$sin2x-\sqrt{3}cos2x+\sqrt{3}$=$2sin（2x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$，…（3分）
（Ⅰ）$T=\frac{2π}{2}=π$；                                                  …（5分）
（Ⅱ）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}$（k∈Z），
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]$（k∈Z）；                    …（8分）
（Ⅲ）函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)$y=2sin（x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$的圖象，
再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到函數(shù)$y=2sinx+\sqrt{3}$的圖象，即$g（x）=2sinx+\sqrt{3}$，
則$g（\frac{π}{6}）=2sin\frac{π}{6}+\sqrt{3}=\sqrt{3}+1$．                  …（13分）

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的規(guī)律，特殊角的三角函數(shù)值以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．