設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-
1
2
ax2-bx

(Ⅰ)當(dāng)a=b=
1
2
時(shí),求f(x)的最大值;
(Ⅱ)令F(x)=f(x)+
1
2
ax2+bx+
a
x
,(0<x≤3),其圖象上任意一點(diǎn)P(x0,y0)處切線的斜率k≤
1
2
恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)a=0,b=-1,方程2mf(x)=x2有唯一實(shí)數(shù)解,求正數(shù)m的值.
分析:(I)函數(shù)的定義域是(0,+∞),把a=b=
1
2
代入函數(shù)解析式,求其導(dǎo)數(shù),根據(jù)求解目標(biāo),這個(gè)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)只有一個(gè)等于零的點(diǎn),判斷這唯一的極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)即可;
(II)即函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)在(0,3]小于或者等于
1
2
恒成立,分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值;
(III)研究函數(shù)是單調(diào)性得到函數(shù)的極值點(diǎn),根據(jù)函數(shù)圖象的變化趨勢,判斷何時(shí)方程2mf(x)=x2有唯一實(shí)數(shù)解,得到m所滿足的方程,解方程求解m.
解答:解:(I)依題意,知f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),當(dāng)a=b=
1
2
時(shí),f(x)=lnx-
1
4
x2-
1
2
x
,f′(x)=
1
x
-
1
2
x-
1
2
=
-(x+2)(x-1)
2x
(2′)
令f'(x)=0,解得x=1.(∵x>0)
因?yàn)間(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0,當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減.
所以f(x)的極大值為f(1)=-
3
4
,此即為最大值…(4分)
(II)F(x)=lnx+
a
x
,x∈(0,3],則有k=F′(x0)=
x0-a
x
2
0
1
2
,在x0∈(0,3]上恒成立,
所以a≥(-
1
2
x
2
0
+x0)max
,x0∈(0,3],
當(dāng)x0=1時(shí),-
1
2
x
2
0
+x0
取得最大值
1
2
,
所以a≥
1
2
…(8分)
(III)因?yàn)榉匠?mf(x)=x2有唯一實(shí)數(shù)解,所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解,
設(shè)g(x)=x2-2mlnx-2mx,則g′(x)=
2x2-2mx-2m
x

令g'(x)=0,x2-mx-m=0.因?yàn)閙>0,x>0,
所以x1=
m-
m2+4m
2
<0
(舍去),x2=
m+
m2+4m
2

當(dāng)x∈(0,x2)時(shí),g'(x)<0,g(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)在(x2,+∞)單調(diào)遞增
當(dāng)x=x2時(shí),g'(x2)=0,g(x)取最小值g(x2).(12′)
g(x2)=0
g′(x2)=0
x
2
2
-2mlnx2-2mx2=0
x
2
2
-mx2-m=0.

所以2mlnx2+mx2-m=0,因?yàn)閙>0,所以2lnx2+x2-1=0(*)
設(shè)函數(shù)h(x)=2lnx+x-1,因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),h(x)是增函數(shù),所以h(x)=0至多有一解.
因?yàn)閔(1)=0,所以方程(*)的解為x2=1,即
m+
m2+4m
2
=1
,解得m=
1
2
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)、研究不等式和方程問題中的綜合運(yùn)用,試題的難度不大,但考查點(diǎn)極為全面.本題的難點(diǎn)是第三問中方程解的研究,當(dāng)函數(shù)具有極值點(diǎn)時(shí),在這個(gè)極值點(diǎn)左右兩側(cè),函數(shù)的單調(diào)性是不同的,這樣就可以根據(jù)極值的大小,結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢確定方程解的個(gè)數(shù),如本題中函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一的極值點(diǎn),而且是極小值點(diǎn),也就是最小值點(diǎn),如果這個(gè)最小值小于零,函數(shù)就出現(xiàn)兩個(gè)零點(diǎn),方程就有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,只有當(dāng)這個(gè)最小值等于零時(shí),方程才有一個(gè)實(shí)數(shù)解,而最小值等于零的這個(gè)極小值點(diǎn)x滿足在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零,函數(shù)值也等于零,即我們的解析中的方程組
g(x2)=0
g′(x2)=0
,由這個(gè)方程組求解m使用了構(gòu)造函數(shù)通過函數(shù)的性質(zhì)得到x2的方法也是值得仔細(xì)體會(huì)的技巧.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-
2x
x+2
,證明:當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0.
(Ⅱ)從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張,然后放回,用這種方式連續(xù)抽取20次,設(shè)抽到的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為p,證明:p<(
9
10
)19
1
e2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x-1)+
2a
x
(a∈R)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)如果當(dāng)x>1,且x≠2時(shí),
ln(x-1)
x-2
a
x
恒成立,則求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)-
2x
的零點(diǎn)為x0,若x0∈(k,k+1),k為整數(shù),則k的值等于
-1或1
-1或1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•湖北模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+a)-x2
(1)若a=0,求f(x)在(0,m](m>0)上的最大值g(m).
(2)若f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),求a的取值范圍.
(3)若直線y=x為函數(shù)f(x)的圖象的一條切線,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ln,則函數(shù)f()+f()的定義域?yàn)開______.

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