3.對任意實數(shù)b及非零實數(shù)a,不等式|2a+b|+|a-b|≥|a|(|2x-1|-|x-2|)恒成立,試求x的取值范圍.

分析 把原不等式變形,得$\frac{{|{2a+b}|+|{a-b}|}}{a}≥|{2x-1}|-|{x-2}|$,求出左邊的最小值,轉(zhuǎn)化為|2x-1|-|x-2|≤3,分類求解得答案.

解答 解:∵a≠0,∴原不等式等價于$\frac{{|{2a+b}|+|{a-b}|}}{a}≥|{2x-1}|-|{x-2}|$,
∵|2a+b|+|a-b|≥|(2a+b)+(a-b)|,當(dāng)且僅當(dāng)(2a+b)(a-b)≥0時取等號,
∴$\frac{|2a+b|+|a-b|}{|a|}≥3$,即$\frac{|2a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值是3.
依題應(yīng)有|2x-1|-|x-2|≤3.
下面解不等式|2x-1|-|x-2|≤3,它等價于
$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{(2x-1)-(x-2)≤3}\end{array}\right.$,①
或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}≤x<2}\\{(2x-1)+(x-2)≤3}\end{array}\right.$,②
或$\left\{\begin{array}{l}{x<\frac{1}{2}}\\{1-2x+(x-2)≤3}\end{array}\right.$,③
解①得x=2; 解②得$\frac{1}{2}≤x<2$; 解③得-4$≤x<\frac{1}{2}$.
綜上所述知,x的取值范圍是[-4,2].

點評 本題考查絕對值不等式的解法,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為2,則可輸入的實數(shù)x值的個數(shù)為(  )
A.0B.1C.2D.3

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14.已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=$\frac{4+3i}{3-4i}$的共軛復(fù)數(shù)的虛部是( 。
A.-iB.iC.1D.-1

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11.計算:
(1)${({\frac{16}{81}})^{-\frac{3}{4}}}+{log_3}\frac{5}{4}+{log_3}\frac{4}{5}$
(2)log2.56.25+lg0.001+ln$\sqrt{e}+{2^{-1+{{log}_2}3}}$.

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18.下列說法正確的是( 。
A.命題:?x∈R,使得ex>0的否定是:?x∈R,有ex>0
B.命題:已知x,y∈R,若x+y≠4,則x≠2或y≠2是真命題
C.不等式f(x)≥g(x)恒成立?f(x)min≥g(x)max
D.命題:若a=-1,則函數(shù)f(x)=ax2+2x-1只有一個零點的否命題為真命題

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.對于函數(shù)f(x)=a-$\frac{2}{{2}^{x}-1}$(a∈R)
(1)用單調(diào)函數(shù)的定義證明f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù);
(2)是否存在實數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.已知數(shù)列{an}的前n項和S${\;}_{n}=A{q}^{n}+B(q≠0)$,則“A=-B“是“數(shù)列{an}是等比數(shù)列”的(  )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.設(shè)定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)滿足:
(1)對任意的實數(shù)x,都有f(-x)-f(x)=0;
(2)對任意的實數(shù)x,都有f(x+π)+f(x)=1;
(3)當(dāng)x∈[0,π]時,0≤f(x)≤1;
(4)當(dāng)x∈(0,$\frac{π}{2}$)∪($\frac{π}{2}$,π)時,有(x-$\frac{π}{2}$)f′(x)>0(其中f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)).
則方程f(x)=|sinx|在[-2π,2π]上的根的個數(shù)為( 。
A.4B.6C.8D.10

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

13.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),其導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(a,b)圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的極小值的個數(shù)是1個.

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同步練習(xí)冊答案