Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+x²-ax，a∈R，x∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)，試求a的取值范圍；
（2）直接寫出（不需要給出演算步驟）函數(shù)g（x）=

f(x)

x

-lnx（x＞

1

2

）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）如果存在a∈（-∞，-1]，使函數(shù)h（x）=f（x）+f′（x），x∈[-1，b]，（b＞-1）在x=-1處取得最小值，試求b的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意得：f′（1）f′（2）＜0，即（3a+2-a）（12a+4-a）＜0，解出即可；
（2）討論當a≤-

1

8

時，當-

1

8

＜a＜0時，當0≤a＜1時，當a≥1時的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）由題意得：（x+1）[ax²+（2a+1）x+（1-3a）]≥0①不等式①可化為 ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0②，令m（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），不等式②恒成立的充要條件是m（b）≥0，得出

b2+2b-3

b+1

≤-

1

a

，從而求出函數(shù)的b的最大值．

解答： 解：（1）由題意得：f′（x）=3ax²+2x-a在區(qū)間（1，2）內(nèi)有不重復的零點，
故只需滿足：f′（1）f′（2）＜0，即（3a+2-a）（12a+4-a）＜0，
∴-1＜a＜-

4

11

，
其值域為（-1，-

4

11

），從而a的取值范圍為（-1，-

4

11

）；
（2）當a≤-

1

8

時，不存在增區(qū)間；
當-

1

8

＜a＜0時，增區(qū)間為（

-1+ 1+8a

4a

，

-1- 1+8a

4a

）；
當0≤a＜1時，增區(qū)間為（

2

1+ 1+8a

，+∞）；
當a≥1時，增區(qū)間為（

1

2

，+∞）；     
（3）h（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，
據(jù)題意知，h（x）≥h（-1）在區(qū)間[-1，b]上恒成立，即
（x+1）[ax²+（2a+1）x+（1-3a）]≥0      ①
當x=-1時，不等式①恒成立；
當-1＜x≤b時，不等式①可化為 ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0   ②
令m（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由于二次函數(shù)m（x）的圖象是開口向下的拋物線，
故它在閉區(qū)間上的最小值必在區(qū)間端點處取得，又m（-1）=-4a＞0，
∴不等式②恒成立的充要條件是m（b）≥0，
即ab²+（2a+1）b+（1-3a）≥0，即

b2+2b-3

b+1

≤-

1

a

，
∵關于a的不等式在區(qū)間（-∞，-1]上有解，
∴

b2+2b-3

b+1

≤(-

1

a

)max，即

b2+2b-3

b+1

≤1，b²+b-4≤0，
解得：

-1- 17

2

≤b≤

-1+ 17

2

，又b＞-1，
故-1＜b≤

-1+ 17

2

，從而b的最大值為

-1+ 17

2

，
此時唯有a=-1符合題意．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導數(shù)的應用，考查分類討論思想，是一道有難度的題．