Question

已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線斜率為10.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)判斷方程根的個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論;
(21)探究: 是否存在這樣的點(diǎn),使得曲線在該點(diǎn)附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)? 若存在,求出點(diǎn)A的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）8；（2）一個(gè)，證明參考解析；(21)

試題分析：（1）曲線上切線的斜率是通過(guò)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線的導(dǎo)數(shù)再將該點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入即可求得該點(diǎn)的斜率，從而可解得的值.
（2）判斷方程的根的情況，一般是通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)從而證明函數(shù)的與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)得到對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù).
(21)因?yàn)槭欠翊嬖谶@樣的點(diǎn),使得曲線在該點(diǎn)附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè).是通過(guò)說(shuō)明過(guò)該點(diǎn)的切線方程與曲線方程聯(lián)立后，構(gòu)建一個(gè)新的函數(shù)，要說(shuō)明該點(diǎn)不是新函數(shù)的極值點(diǎn)即可.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240345175121169.png" style="vertical-align:middle;" />.圖像在點(diǎn)處的切線斜率為10，.解得.
（2）方程 只有一個(gè)實(shí)根.證明如下：由（1）可知 ，令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034517621573.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240345176841268.png" style="vertical-align:middle;" />.所以在遞增，所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，及方程有且只有一個(gè)實(shí)根.
(21)由，，可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程為.即.記，.若存在這樣的點(diǎn)，使得曲線在該點(diǎn)附近的左右兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)，則問(wèn)題等價(jià)于不是極值點(diǎn)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不是極值點(diǎn)，即.所以在上遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即存在唯一點(diǎn).使得曲線在點(diǎn)A附近的左右兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè).