8．設p為正整數(shù)，證明：若p不是完全平方數(shù)，則$\sqrt{p}$是無理數(shù)．

分析 根據(jù)反證法的步驟，先假設相反的結論，再推出與已知條件相矛盾的結論，否定假設，肯定結論．

解答 證明：假設$\sqrt{p}$是有理數(shù)，則存在互素的正整數(shù)m和n使得$\sqrt{p}$=$\frac{m}{n}$，
所以p=$\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}$，所以m2=pn2，所以m必為p的倍數(shù)．
設m=pk 則p2k2=pn2，所以pk2=n2，所以n也必是p的倍數(shù)，
這與正整數(shù)m和n互素矛盾．
綜上所述，若p不是完全平方數(shù)，則$\sqrt{p}$是無理數(shù)．

點評 本題考查用反證法證明數(shù)學命題，推出矛盾，是解題的關鍵和難點．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

18．集合A，B滿足條件A∩B≠∅，A∪B={1，2，3，4，5}，當A≠B時，我們將（A，B）和（B，A）視為兩個不同的集合對，則滿足條件的集合對（A，B）共有211個．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

19．已知復數(shù)z=cosθ+isinθ，θ∈R，則zn=cosnθ+isinnθ，n∈N*；若復數(shù)z=cos$\frac{π}{12}$+isin$\frac{π}{12}$，那么$\frac{{z}^{30}+1}{i-1}$=（　�。�
A．0B．iC．1D．-i

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

16．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an+Sn=2，n∈N*．求數(shù)列{an}的通項公式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=btanA，且B為鈍角．
（1）求B-A的值；
（2）求sinA+sinC的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．用籬笆圍成一個一邊靠墻面積為200m2的矩形菜園，墻長a米，這個菜園的長和寬分別是多少時，所用的籬笆最短？并求出籬笆的長度．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．在△ABC中，（5a-4c）cosB-4bcosC=0．
（1）求cosB的值；
（2）若c=5，b=$\sqrt{10}$，求△ABC的面積S．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

17．已知S={a，b}，A⊆S，則A與∁SA的所有有序組對共有4組．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．已知F（x）=${∫}_{0}^{x}$（3t2+2at+b）dt，若函數(shù)F（x）在x=0，x=2處取得極值，
（1）求a，b的值．
（2）若x∈[0，1]，F(xiàn)（x）+c≤c2-2恒成立時求實數(shù)c的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案