Question

已知函數(shù)f（x）=ax-bx²
（1）當(dāng)b＞0時，若對任意x∈R都有f（x）≤1求證a≤2

b

．
（2）當(dāng)b＞1時，求證；對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要條件是b-1≤a≤2

b

．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：計算題,簡易邏輯

分析：（1）由題意可得bx²-ax+1≥0恒成立，利用判別式即；
（2）對任意x∈[0，1]，由|f（x）|≤1推出其等價條件即可．

解答： 證明：（1）∵對任意x∈R都有f（x）≤1，
∴bx²-ax+1≥0恒成立，
∴△=a²-4b≤0，
∴a≤2

b

．
（2）∵|f（x）|≤1?-1≤ax-bx²≤1
?

b≤ a x + 1 x2 b≥ a x - 1 x2

x∈[0，1]
 (

a

x

+

1

x2

)min=a+1∴b≤a+1，
(

a

x

-

1

x2

)max=

a2 4 (a≥2) a-1(0＜a＜2)

且

a2

4

-(a-1)≥0，
∴

a2

4

≤b≤a+1∴?b-1≤a≤2

b

．

點評：本題考查了恒成立問題的處理及充要條件的證明，恒成立問題可用判別式法處理，充要條件注意推等價關(guān)系，屬于中檔題．