設(shè)a、b、c分別是△ABC三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C的對邊，若向量
m
=(1-cos(A+B)，cos
A-B
2
)，
n
=(
5
8
，cos
A-B
2
)且
m
•
n
=
9
8
，
（1）求tanA•tanB的值；
（2）求
absinC
a2+b2-c2
的最大值．
分析：（1）由
m
•
n
=
9
8
，化簡得 4cos（A-B）=5cos（A+B），由此求得tanA•tanB的值．
（2）利用正弦定理和余弦定理化簡為
1
2
tanC，而tan(A+B)=
tanA+tanB
1-tanAtanB
=
9
8
(tanA+tanB)，利用基本不等式
求得它的最小值等于
3
4
，從而得到tanC有最大值-
3
4
，從而求得所求式子的最大值．
解答：解：（1）由
m
•
n
=
9
8
，得
5
8
[1-cos(A+B)]+cos2
A-B
2
=
9
8
．…（2分）
即  
5
8
[1-cos(A+B)]+
1+cos(A-B)
2
=
9
8
，
亦即  4cos（A-B）=5cos（A+B），…（4分）
所以  tanA•tanB=
1
9
．…（6分）
（2）因
absinC
a2+b2-c2
=
absinC
2abcosC
=
1
2
tanC，…（8分）
而tan(A+B)=
tanA+tanB
1-tanAtanB
=
9
8
(tanA+tanB)≥
9
8
×2
tanA•tanB
=
3
4
，
所以，tan（A+B）有最小值
3
4
，…（10分） 
  當且僅當tanA=tanB=
1
3
時，取得最小值．
又tanC=-tan（A+B），則tanC有最大值-
3
4
，故
absinC
a2+b2-c2
的最大值為-
3
8
．…（13分）
點評：本題主要考查兩個向量數(shù)量積公式，正弦定理和余弦定理，兩角和的正切公式，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)a、b、c分別是方程2x=log
1
2
x，(
1
2
)x=log
1
2
x，(
1
2
)x=log2x的實數(shù)根，則（　　）
A、c＜b＜a
B、a＜b＜c
C、b＜a＜c
D、c＜a＜b

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)a、b、c分別是函數(shù)f(x)=(
1
2
)x-log2x，g(x)=2x-log
1
2
x，h(x)=(
1
2
)x-log
1
2
x的零點，則a、b、c的大小關(guān)系為（　�。�
A、b＜c＜a
B、a＜b＜c
C、b＜a＜c
D、c＜b＜a

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)a、b、c分別是先后擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子三次得到的點數(shù)．
（1）求使函數(shù)f(x)=
1
3
bx3+
1
2
(a+c)x2+(a+c-b)x-4在R上不存在極值點的概率；
（2）設(shè)隨機變量ξ=|a-b|，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，設(shè)a，b，c分別是三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，b=2，c=1，面積S△ABC=
1
2
，則內(nèi)角A的大小為
π
6
或
5π
6
π
6
或
5π
6
．

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