Question

19．已知O是銳角△ABC的外接圓的圓心，且∠A=$\frac{π}{4}$，若$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$=2m$\overrightarrow{AO}$，則m=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 取AB的中點為D，可得$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$ 代入已知的等式中，結合正弦定理和向量的運算法則變形，并用三角函數(shù)表示出m，化簡后可得結果．

解答 解：取AB中點D，則有$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$，
代入已知式子可得$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$=2m（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$），
由$\overrightarrow{DO}$⊥$\overrightarrow{AB}$，可得$\overrightarrow{DO}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴兩邊同乘$\overrightarrow{AB}$，
化簡得：$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=2m（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$）•$\overrightarrow{AB}$=2m$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=m$\overrightarrow{AB}$²，
即$\frac{cosB}{sinC}$c²+$\frac{cosC}{sinB}$bc•cosA=mc²，
由正弦定理化簡可得$\frac{cosB}{sinC}$sin²C+$\frac{cosC}{sinB}$sinBsinC•cosA=sin²C，
由sinC≠0，兩邊同時除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，
∴m=$\frac{cosB+cosAcosC}{sinC}$=$\frac{-cos（A+C）+cosAcosC}{sinC}$=sinA=sin $\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故選：B．

點評 本題考查平面向量，正弦定理以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵，屬中檔題．