Question

1．設數(shù)列{a_n}的前項n和為S_n，若對于任意的正整數(shù)n都有S_n=2a_n-3n．
（1）設b_n=a_n+3，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出{a_n}的通項公式．
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系可得：a_n+1=2a_n+3，變形為a_n+1+3=2（a_n+3），即b_n+1=3b_n．即可證明．
（2）利用“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：由已知S_n=2a_n-3n．n=1時，a₁=2a₁-3，解得a₁=3．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-3n-[2a_n-1-3（n-1）]．
∴a_n+1=2a_n+3，變形為a_n+1+3=2（a_n+3），即b_n+1=3b_n．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項為6，公比為2．
∴b_n=a_n+3=6×2^n-1，解得a_n=3×2ⁿ-3．
（2）解：na_n=3n×2ⁿ-3n．
設數(shù)列{n•2ⁿ}的前n項和為A_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴數(shù)列{na_n}的前n項和T_n=（3n-3）•2ⁿ⁺¹+6-$\frac{3n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．