【題目】某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時，輪船位于港口北偏西且與該港口相距20海里的處，并以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛，假設(shè)該小船沿直線方向以海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過小時與輪船相遇.

（1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

（2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時，試設(shè)計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由.

【答案】（1）當(dāng)t＝時，Smin＝10，此時v＝＝30

（2）航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇．

【解析】試題分析：（1）設(shè)相遇時小艇的航行距離為海里，則由余弦定理得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值；（2）根據(jù)題意，要用時最小，則首先速度最高，即為海里/小時，然后是距離最短，則，解得，再解得相應(yīng)角．

試題解析：（1）設(shè)相遇時小艇的航行距離為海里，

則

故當(dāng)時，

即小艇以海里/小時的速度航行，相遇小艇的航行距離最小

（2）

設(shè)小艇與輪船在處相遇.

則，

故

∵，

∴，即，解得

又時， ，

故時， 取得最小值，且最小值等于

此時，在中，有，

故可設(shè)計航行方案如下：

航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/小時

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校1800名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，抽取其中50個樣本，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組，第五組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．

（1）若成績小于15秒認(rèn)為良好，求該樣本在這次百米測試中成績良好的人數(shù)；

（2）請估計學(xué)校1800名學(xué)生中，成績屬于第四組的人數(shù)；

（3）請根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差．

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【題目】如圖，公園有一塊邊長為的等邊的邊角地，現(xiàn)修成草坪，圖中把草坪分成面積相等的兩部分，在上，在上．

（1）設(shè)（），，求用表示的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，的位置應(yīng)在哪里？如果是參觀線路，則希望它最長，的位置又應(yīng)在哪里？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校高二（1）班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如下，且將全班25人的成績記為由右邊的程序運(yùn)行后,輸出.據(jù)此解答如下問題：

（Ⅰ）求莖葉圖中破損處分?jǐn)?shù)在[50，60），[70，80），[80，90）各區(qū)間段的頻數(shù)；

（Ⅱ）利用頻率分布直方圖估計該班的數(shù)學(xué)測試成績的眾數(shù)，中位數(shù)分別是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,三棱柱中,,,平面平面，與相交于點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中, 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).

（1）直線過且與曲線相切, 求直線的極坐標(biāo)方程;

（2）點(diǎn) 與點(diǎn)關(guān)于軸對稱, 求曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間，講座開始時，學(xué)生的興趣激增，中間有一段不太長的時間，學(xué)生的興趣保持理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，分析結(jié)果和實驗表明，用表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示接受能力越強(qiáng)），表示提出和講授概念的時間（單位：分），可以有以下公式： ．

（1）開講多少分鐘后，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少分鐘？

（2）開講5分鐘與開講20分鐘比較，學(xué)生的接受能力何時強(qiáng)一些？

（3）一個數(shù)學(xué)難題，需要55的接受能力以及13分鐘的時間，老師能否及時在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題？

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【題目】（A）已知， ， ，且函數(shù)的最小正周期為.

（1）求的值；

（2）若， ， ， ，求的值.

（B）已知， ， ，且函數(shù)的最小正周期為.

（1）求的解析式；

（2）若關(guān)于的方程，在內(nèi)有兩個不同的解， ，求證： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)列中，，且對任意的成等比數(shù)列，其公比為.

（1）若，求；

（2）若對任意的成等差數(shù)列，其公差為.設(shè).

①求證:成等差數(shù)列并指出其公差；

②若，試求數(shù)列的前項和.

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