Question

3．△A BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量$\vec a$，$\vec b$滿足$\overrightarrow{{A}{B}}=2\vec a$，$\overrightarrow{{A}C}=2\vec a+\vec b$，則下列結(jié)論不正確的是（　�。�

• A． $|{\overrightarrow b}|=2$
• B． $\overrightarrow a•\overrightarrow b=-1$
• C． $|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{7}$
• D． $（{4\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow b$

Answer 1

分析 作出向量示意圖，用三角形ABC的邊表示出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，根據(jù)等比三角形的性質(zhì)判斷．

解答 解：取AB的中點(diǎn)D，BC的中點(diǎn)E，
∵$\overrightarrow{{A}{B}}=2\vec a$，$\overrightarrow{{A}C}=2\vec a+\vec b$，
∴$\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$，
∴|$\overrightarrow$|=BC=2，故A正確；
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{BC}$=1×2×cos120°=-1，故B正確；
|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{DC}$|=CD=$\sqrt{3}$，故C錯(cuò)誤；
$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow$，
∵$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{BC}$，∴（2$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$，∴（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$，故D正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．