Question

5．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）左右焦點(diǎn)，它的離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且被直線y=$\frac{1}{2}（{x+a}）$所截得的線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P（m，n）是其橢圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)∠F₁PF₂為鈍角時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得：a=2b，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²+4y²=4b²，聯(lián)立直線方程，由韋達(dá)定理，求出a，b值，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)∠F₁PF₂為鈍角時(shí)，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}＜0$，即m²+n²＜3，進(jìn)而可得m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴a=2b，
故可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²+4y²=4b²，
將y=$\frac{1}{2}（{x+a}）$代入得：2x²+4bx=0，
∴x₁+x₂=-2b=-2，
∴b=1，a=2
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$（3分）
（Ⅱ）當(dāng)∠F₁PF₂為鈍角時(shí)，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}＜0$，
得m²+n²＜3（3分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{m^2}+{n^2}＜3\\ \frac{m^2}{4}+{n^2}=1\end{array}\right.$
得$m∈（{-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}）$（3分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，向量的數(shù)量積運(yùn)算，難度中檔．