(本小題14分)請你設(shè)計(jì)一個包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得ABCD四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)形狀的包裝盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形HEF斜邊的兩個端點(diǎn),設(shè)AE=FB=xcm.

(1)請用分別表示|GE|、|EH|的長

(2)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值?

H

 
(3)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.

 

【答案】

(1)|GE|=   |EH|=

(2)當(dāng)x=15時,S取得最大值

(3)當(dāng)x=20時,V取得極大值,也是最大值.

此時,即包裝盒的高與底面邊長的比值為

【解析】第一問中利用已知的圖像可知,結(jié)合正方形的特點(diǎn)得到。

第二問中,設(shè)包裝盒的高為h(cm),底面邊長為a(cm),由已知得

得到然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的思想求解最大值

第三問中,表示然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求解體積的最值問題。

解:|GE|=   |EH|=

設(shè)包裝盒的高為h(cm),底面邊長為a(cm),由已知得

(2)

所以當(dāng)x=15時,S取得最大值. 

(3).

得x=0(舍)或x=20.

當(dāng)時,;當(dāng)時,

所以當(dāng)x=20時,V取得極大值,也是最大值.

此時,即包裝盒的高與底面邊長的比值為

 

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