數(shù)列{an}中，已知a1=-2，a2=-1，a3=1，若對(duì)任意正整數(shù)n，有anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，且an+1an+2an+3≠1，則該數(shù)列的前2010 項(xiàng)和S2010=（ ）
A．2010
B．-2011
C．-2010
D．-2008
【答案】分析：分別表示出anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，兩式相減可推斷出an+4=an，進(jìn)而可知數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列，只要看2010是3的多少倍，然后通過(guò)a1=-2，a2=-1，a3=1求得a4，而2010是4的502倍余2，故可知S2010=502×（-2-1+1-2）+a1+a2答案可得．
解答：解：依題意可知，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，
兩式相減得an+1an+2an+3（an+4-an）=an+4-an，
∵an+1an+2≠1，
∴an+4-an=0，即an+4=an，
∴數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列，
∵a1a2a3a4=a1+a2+a3+a4∴a4=-2
∴S2010=502×（-2-1+1-2）+a1+a2=-2011
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和問(wèn)題．本題的關(guān)鍵是找出數(shù)列的周期性，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（文科）（1）若數(shù)列{an1}是數(shù)列{an}的子數(shù)列，試判斷n1與l的大小關(guān)系；
（2）①在數(shù)列{an}中，已知{an}是一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列，a5=6．當(dāng)a3=2時(shí)，若存在自然數(shù)n1，n2，…，nl，…滿足5＜n1＜n2＜…＜nl＜…且a3，a5，a7，a9…an…是等比數(shù)列，試用t表示n1；
②若存在自然數(shù)n1，n2，…，nl，…滿足5＜n1＜n2＜…＜nl＜…且a3，a5，a7，a9…an…構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列．求證：當(dāng)a3是整數(shù)時(shí)，a3必為12的正約數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，已知點(diǎn)（an，an+1）（n∈N*）在函數(shù)y=2x的圖象上，且a2•5=8
（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且bn=an+n，求Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=2，a2=3，當(dāng)n≥2時(shí)，an+1是an•an-1的個(gè)位數(shù)，則a2011=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1=2an+2（n∈N*）
（Ⅰ）求證：數(shù)列{an+2}是等比數(shù)列；
（Ⅱ） 求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，則a2011=（　　）

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