【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在定義域上單調(diào)增,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)在定義域上不單調(diào),試判定的零點個數(shù),并給出證明過程.
【答案】(1);(2);(3)函數(shù)必有三個不同零點,證明詳見解析.
【解析】
(1)求導(dǎo)后可得即為切線斜率,再求出,利用點斜式即可得解;
(2)轉(zhuǎn)化條件得在時恒成立,令,對求導(dǎo)后求出,令即可得解;
(3)由題意若函數(shù)在定義域上不是單調(diào)函數(shù),設(shè),求導(dǎo)后,即可確定函數(shù)的零點個數(shù),結(jié)合即可得解.
(1)當(dāng)時,,
則,,
則在處的切線斜率為,
所以函數(shù)在處的切線方程為即;
(2)因為.
所以的定義域為,,
又因為函數(shù)在定義域上為單遞增函數(shù),
所以在時恒成立,
即在時恒成立,
設(shè),
則,
當(dāng)時,,則在上為減函數(shù),
當(dāng)時,,則在上為增函數(shù),
所以在時恒成立,
所以;
(3)因為,
所以,則不可能對恒成立,
即在定義域上不可能始終都為減函數(shù),
由(2)知函數(shù)為增函數(shù),
所以若函數(shù)在定義域上不是單調(diào)函數(shù),
又因為,所以是函數(shù)一個零點,
令即,
設(shè),則與有相同的零點,
令,得,
因為,所以,
所以有兩個不相等實數(shù)解,,
因為,,所以不妨設(shè),
當(dāng)時,,在為增函數(shù);
當(dāng)時,,在為減函數(shù);
當(dāng)時,,在為增函數(shù);
則,,
又因為時,,,
所以,,
又因為在圖象不間斷,所以在上有唯一零點;
又因為在圖象不間斷,所以在上有唯一零點;
又因為是函數(shù)一個零點,
綜上,函數(shù)必有三個不同零點.
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【題目】在平面直角坐標系中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為
(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點.求
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【題目】南北朝時代的偉大數(shù)學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻,他在實踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.其含義是:夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截,如果截得的兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等,如圖,夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為,被平行于這兩個平面的任意平面截得的兩個截面的面積分別為,則“總相等”是“相等”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
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【題目】某人將編號分別為1,2,3,4,5的5個小球隨機放入編號分別為1,2,3,4,5的5個盒子中,每個盒子中放一個小球若球的編號與盒子的編號相同,則視為“放對”,否則視為“放錯”,則全部“放錯”的情況有________種.
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【題目】已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列,滿足,.且.
(1)求證數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)設(shè)數(shù)列,的前n項和分別為,,求使得等式成立的有序數(shù)對.
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【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,與餐飲美食相關(guān)的手機APP軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家,對它們的“平均送達時間”進行統(tǒng)計,得到頻率分布直方圖如下.
(1)已知抽取的100個使用A款訂餐軟件的商家中,甲商家的“平均送達時間”為18分鐘,F(xiàn)從使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達時間”不超過20分鐘的商家中隨機抽取3個商家進行市場調(diào)研,求甲商家被抽到的概率;
(2)試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達時間”的眾數(shù)及平均數(shù);
(3)如果以“平均送達時間”的平均數(shù)作為決策依據(jù),從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐,你會選擇哪款?
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【題目】如圖,在三棱錐S﹣ABC中,SA⊥底面ABC,AC=AB=SA=2,AC⊥AB,D、E分別是AC、BC的中點,F在SE上,且SF=2FE.
(1)求證:平面SBC⊥平面SAE
(2)若G為DE中點,求二面角G﹣AF﹣E的大小.
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【題目】在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中,用如圖所示的三角形(楊輝三角)解釋了二項和的乘方規(guī)律.右邊的數(shù)字三角形可以看作當(dāng)n依次取0,1,2,3,…時展開式的二項式系數(shù),相鄰兩斜線間各數(shù)的和組成數(shù)列.例:,,,….
(1)寫出數(shù)列的通項公式(結(jié)果用組合數(shù)表示),無需證明;
(2)猜想,與的大小關(guān)系,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x-1+ (a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).且曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸.
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
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