Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-1，x≥0}\\{-2x，x＜0}\end{array}}$，則關(guān)于x的方程f[f（x）]+k=0給出下列四個命題：
①存在實數(shù)k，使得方程恰有1個實根；  
②存在實數(shù)k，使得方程恰有2個不相等的實根；
③存在實數(shù)k，使得方程恰有3個不相等的實根；
④存在實數(shù)k，使得方程恰有4個不相等的實根．
其中正確命題的序號是①②③（把所有滿足要求的命題序號都填上）．

Answer 1

分析 由解析式判斷出f（x）的正負(fù)，再求出f[f（x）]的解析式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象畫出此函數(shù)的圖象，根據(jù)方程根的幾何意義和圖象，判斷出方程根的個數(shù)以及對應(yīng)的k的范圍，便可以判斷出命題的真假．

解答 解：當(dāng)∈[0，1）時，f（x）＜0，當(dāng)∈（-∞，0）∪[1，+∞）時，f（x）＞0，
∴f[f（x）]=$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}-1，（x＜0）}\\{{x}^{4}-2{x}^{2}，（x≥1）}\\{-2{x}^{2}+2，（0≤x＜1）}\end{array}\right.$，
畫出此函數(shù)的圖象如下圖：
∵f[f（x）]+k=0，∴f[f（x）]=-k，
由圖得，當(dāng)-1＜-k＜0時，方程恰有1個實根；
當(dāng)-k＞2或-k=0時，方程恰有2個實根，當(dāng)0＜-k≤2時，方程恰有3個實根，
故①②③正確．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了命題的真假判斷，以及方程根的根數(shù)問題，涉及到了分段函數(shù)求值，指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)應(yīng)用，考查了學(xué)生作圖能力和轉(zhuǎn)化思想．